「我流でゲーデル解釈」について III

前回と同じ個所です。

ゲーデルの完全性定理 が示したことは、

　　◇　どんな命題であっても、前提と論法から導けるか否か （真か偽か） を、必ず示すことができる。

　　◇　前提と論法から正しく導ける命題 （真である命題） は、有限個である。

つっこみどころが複数あるので、ひとつずつつっこんでいます。今回は二つめのつっこみどころです。

「前提と論法」は「公理と推論規則」の間違いだろうと、前回、書きました。「導けるか否か （真か偽か）」は致命的な間違いであることも、前回、書きました。しかし、引用文のこの二箇所を直して「どんな命題であっても、公理と推論規則から導けるか否かを、必ず示すことができる。」としても、まだ、まるっきり間違っています。これは、完全性ではありません。証明可能性の決定可能性です。そして、一階述語論理では証明可能性は決定可能でないことが、すでに知られています。

前回までに書いたとおり、完全性とは、任意の解釈で真である（恒真）ならば、公理と推論規則から導くことができる（証明可能）ということです。一階述語論理がこの意味で完全であるというのがゲーデルの完全性定理です。

くりかえしますと、元記事は、完全性とはまったくの別物を完全性と呼んでいるのです。

この個所のつっこみどころは、まだ、残っています。

（つづく……といいなあ）